Подкасти за историја

Колку цифри на Пи знаеја старите Египќани?

Колку цифри на Пи знаеја старите Египќани?

Од „Rhind Papyrus“ од 1600 година п.н.е., знаеме дека Египќаните имале проценка за пи, имено 3,16, што значи дека знаеле само 2 цифри за пи. Според овој напис, тие знаеја повеќе цифри, најмалку 4 цифри од пи. Околу 200 година пред нашата ера Архимед ја проценил пи на 22/7 што е 3 цифри од пи. Ова покажува дека Египќаните знаеле повеќе цифри 2000 години пред Архимед, меѓутоа, не ми е јасно колку цифри всушност знаеле.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Античките Египќани во времето на папирусот Рајн навистина немале концепт за Пи. Методот што го опишаа за пронаоѓање на плоштина на круг беше да се запише во квадрат и да се примени соодносот 64/81 на површината во рамките на квадратот. Сепак, денес знаеме дека ова е математички еквивалентно на користење на Пи од 256/81. Тоа е влакно помало од 3,1605, што на временската страница на Википедија е еднакво на едно децимално место.

Античките Вавилонци и Индијанците приближно во исто време имаа своја хеуристика, која се покажа на Пи од 3 + 1/8 и 25/8 соодветно, или 3.125 (точно). Тоа беше малку поблиску, но исто така точно само на едно децимално место. Никој друг не е познат дека нашироко воспоставил значително подобра проценка с 2 до 2 децимални места на Архимед скоро 2000 години подоцна.

Весникот што го поврзавте прави неколку шпекулации и екстраполира од нив. Не сакам да му дадам кратка брзина на момчето: тие се фасцинантни шпекулации. Сметам дека идејата за пирамидалните градители се тркалаат околу тркалото за да ги исцртаат четирите агли особено привлечна. Но, во основата таа хартија е само многу лични шпекулации и забава по математика, изградена околу јадрото на историски и математички факти. Се разбира, сосема е можно да се биде користејќи Пи без да го знае тоа; тоа е токму она што би го правеле нашите корисници на тркала.

Имаше египтолог кој уште во 1940 година тврдеше дека и Египќаните користеле 22/7, но тој аргумент се чини дека не е широко прифатен денес. Не сум сигурен колку неговите аргументи се совпаѓаат со весникот што го поврзавте.


Последниот број на Пи

[Ова е груб транскрипт од мојот говор TEDxNYED, одржан на 6 март 2010 година, во Newујорк, во колеџското училиште. TEDxNYED беше целодневна конференција “, испитувајќи ја улогата на новите медиуми и технологија во обликувањето на иднината на образованието. (Рефлексии за TED и засилувач TEDxNYED). ” Она што јас всушност го кажав и го направив на TEDxNYED отстапува од овој препис, ја ангажирав публиката директно неколку пати, еднаш за забава и еднаш за да ги добијам нивните идеи за темата. Postе го објавам видеото кога ќе биде достапно.]

Сакам да ви раскажам приказна за заборавеното подрачје на образование и знаење. Тоа е предупредувачка приказна, парабола за тоа што се случува кога светот се менува, кога традицијата е оспорена.

До релативно неодамна во историјата на човештвото, пи беше многу бараното решение за она што долго време се нарекуваше „исправување“ или „квадратура“ на кругот, фенси зборови што полесно се симболизираат со дијаграмот на овој слајд. Како може да го трансформирате тој круг во преклопен квадрат? Едната страна на квадратот би била една четвртина од пи ако дијаметарот на кругот е 1.

Пи беше посакувана бројка илјадници години, проткаена со магични својства. Генерации научници го следеа убедливо, честопати сметајќи дека е с all и крај на целата геометрија.

Ова е различно пи -пи како што го знаеме ние модерните:

Па, не сето тоа, како што сигурен сум дека знаете. Тоа се само првите 200 цифри. Бројот продолжува засекогаш. Се надевам дека не очекувавте да ја откријам вистинската последна цифра на пи. Затоа што нема еден. Чудно, нели?

Пи не беше секогаш толку чудно. Античките Египќани знаеја подобро, поврзувајќи го односот на обемот со дијаметарот на кругот на 4 над 3 до 4 -тата моќност. Тоа е значително поодредено, а со тоа и многу поразумно.

Архимед знаеше подобро, собирајќи ја вредноста на пи помеѓу неколку многу блиски фракции.

Ако сте библиски литералист, пи изгледа дека е 3, бидејќи Библијата јасно опишува 30 лакти како опфаќа круг со дијаметар од 10 лакти.

И решенијата постојано доаѓаа. Од антички математичари и филозофи, до средновековни научници, до ренесансата и просветителството. Секој се чинеше способен да ја најде - со доволно напор - точната вредност за пи. Квадрирањето на кругот беше генијален напор во древната наука совршено опишана пред неколку векови од Евклид.

Но, нешто радикално се промени во осумнаесеттиот век, веднаш по книгата десно од ouубер де ла Ру. Неколку математичари почнаа посериозно да го сфаќаат досадното чувство дека пи нема совршено решение како магична фракција. На крајот на краиштата, можеби нема да има последна цифра. Овој критичен број во центарот на математиката, всушност, може да биде ирационален. Еден математичар започна да ја реконцептуализира пи.

И еве го: шпанскиот германски математичар Јохан Хајнрих Ламберт:

Очигледно, тој беше син на кројач и главно беше самоук по математика. Неговата брилијантна работа во 1760 -тите години покажа дека π/4 не може да биде рационален број - никогаш не може точно да ја откриете вредноста на едната страна од тој квадрат - и затоа тој пи исто така беше ирационален. По Ламберт, учебниците по математика прогласија дека работата е решена.

Така е, проблемот е решен …

Освен ….окружувањето со квадрат продолжи да оди. Светот на математиката се промени со откритијата на осумнаесеттиот век, но некако пораката не стигна до многу луѓе. Johnон Паркер, лево, го изнајде моето лично омилено решение: пи е точно 20612/6561. Некои кругови, како Jamesејмс Смит десно, го исмеваа доказот на Ламберт како дело на дилетант.

Работите потоа станаа тешки помеѓу новите математичари и оние што се држеа до претходната визија за пи. Евиденцијата за ова војување е информативна колку и хумористична. Во 1860 -тите и 70 -тите години, Jamesејмс Смит го презеде Август Де Морган, професор по математика во Лондон, во серија кратки памфлети, кои беа викторијански еквивалент на Твитер.

Но, не е изненадувачки, казнувањата на професорите по математика не ги спречија круговите. Нивните решенија продолжуваа да доаѓаат, дури и покрај критиките, дури и откако се покажа дека пи е трансцендентална, што значи дека не може да биде ни коренот на некој друг број или равенка. Мојата омилена книга од почетокот на дваесеттиот век го имаше овој превод на корицата: “Големиот проблем што ги збуни најголемите филозофи и најсветлите умови од античко и модерно време, сега е решен од скромниот американски граѓанин на градот Бруклин. ”

Сега, лесно е да се смееш на овие погрешни кругови, особено кога се од Бруклин. Но, ако сериозно ги читате квадратниците и престанете да размислувате за тоа, тие не се толку различни од вас или од мене. Дури и во времето кога знаеме, сите ние упорно правиме работи што другите одамна ги напуштија како апсурдни или пасивни.

Историјата ни кажува дека луѓето, за жал, не се многу добри во гледањето на новото, и наместо тоа се многу добри во одржувањето на минатото по секоја цена. Ова е особено точно во образованието: Евклидово Елементи, напишана пред повеќе од 2.000 години, с still уште беше стандарден учебник по математика во 19 век, и покрај големиот математички напредок.

Значи, вреди да се запре да размислиме за последната цифра на пи. Зошто толку многу продолжија да се занимаваат со пи како што беше традиционално замислено, и зошто се спротивставија на новата математика?

Размислете за момент за разликата помеѓу старата и новата пи. Стариот беше совршен, едноставен, уреден, божествен нов, навидум непрецизен, прозаичен, хаотичен, човечки. Така, приказната за пи е приказна и психологија, за она што се случува кога сложеното и новото се обидува да го престигне едноставното и традиционалното.

Тоа се случува насекаде околу нас во дигиталната ера. Го заменуваме она што се сметаше за совршено и нарачано со навидум непрецизно и хаотично.

Погледнете што се случи, на пример, во последната деценија со Википедија и гневот за судбината на традиционалната енциклопедија.

Или весници пред новите форми на новинарство, како што е блогирањето. Поранешниот бејзбол статистичар, Нејт Силвер од FiveThirtyEight.com, може дрско да одлучи да ги анализира изборите и економијата подобро од повеќето весници? Да навистина.

Сега оваа публика, на десната страна од овие екрани, можеби ќе сака да биде злобна како Август Де Морган за оние што с still уште се налево. Можеби сакаме да ги оставиме модерните кругови, и несомнено некои од нив ќе бидат оставени. Но, за мнозинството кои се нерасположени и се заглавени меѓу старото и новото, потребни ни се други методи за да ги убедиме и да го смениме статус квото. Историјата ни кажува дека не е доволно да се каже дека луѓето се слепи за иднината. Мораме точно да покажеме кои се слабостите на старите …

…и ние мора да покажеме како новиот работи подобро од стариот.

Правилно познавање на пи до 10 -та цифра е од голема помош кога точно се предвидуваат движењата на небесните тела, обидете се да ги користите 3 1/8 на Jamesејмс Смит кога го следите лакот на планета или месечина. За некои физики, прецизно е да се знае пи до 40 -та цифра.

Покрај тоа, оваа модерна пи може да е чудна, но нејзината многу чудност отвори нови патишта за истражување и мислење кои беа исто толку интелектуално предизвикувачки и наградувачки како и квадрирањето на кругот. Трансценденталната природа на пи ги натера математичарите да размислуваат за бесконечни секвенци на дропки и имаа влијание врз теоријата на хаосот. Во компјутерската наука, излегувањето со алгоритми за постигнување милијарда или трилиони цифри пи, што е можно побрзо, ја унапреди оваа област. И, ако сеуште сакате да се разбие нерешен проблем, видете дали можете да откриете дали пи е она што се нарекува „нормален број“, каде распределбата на цифрите 0-9 е униформна …

Наместо тоа, преовладува осумте. Сега тоа е тежок проблем, поврзан со вистински прашања во модерната математика. Значи, има уште проблеми што треба да се решат, понапредни проблеми. Математиката не заврши со крајот на старата пи - таа само се движеше во нови, поинтересни насоки.

Но, за да стигнат до таа точка, математичарите мораа на разбирлив начин да покажат како новиот пи создал нов поредок.


Содржини

Најпознатите приближности до π што датираат пред вообичаената ера беа точни до две децимални места, што беше подобрено во кинеската математика особено кон средината на првиот милениум, со точност од седум децимални места. По ова, нема напредок до крајот на средновековниот период.

Некои Египтолози [4] тврдат дека старите Египќани користеле приближување на π како 22 ⁄ 7 = 3.142857 (околу 0,04% превисоко) уште од Старото Кралство. [5] Ова тврдење наиде на скептицизам. [6] [7]

До 5 век н.е., π бил познат на околу седум цифри во кинеската математика и на околу пет цифри во индиската математика. Понатамошен напредок не беше постигнат речиси милениум, с the до 14 век, кога индискиот математичар и астроном Мадхава од Сангамаграма, основач на училиштето за астрономија и математика во Керала, ја откри бесконечната серија за π, сега позната како серија Мадава -Лајбниц, [21] [22] и даде два методи за пресметување на вредноста на π. Еден од овие методи е да се добие брзо приближувачка серија со трансформирање на оригиналната бесконечна серија π. Со тоа, тој ја доби бесконечната серија

и ги искористи првите 21 термина за да пресмета приближување на π точно до 11 децимални места како 3.141 592 653 59.

Другиот метод што го користеше беше да додаде преостанат термин во оригиналната серија π. Тој го користеше остатокот од терминот

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), персиски астроном и математичар, правилно пресметал 2 π до 9 полов број на цифри во 1424 година. [23] Оваа бројка е еквивалентна на 17 децимални цифри како

Тој го постигна ова ниво на точност со пресметување на периметарот на правилен многуаголник со 3 × 2 28 страни. [24]

Во втората половина на 16 век, францускиот математичар Франсоа Виште откри бесконечен производ што се спои на π познат како формула на Виште.

Германско-холандскиот математичар Лудолф ван Цеулен (околу 1600) ги пресмета првите 35 децимални места на π со 2 62 -гон. Тој бил толку горд на ова достигнување што ги напишал на неговата надгробна плоча. [25]

Во Циклометрикус (1621), Виллборд Снелиус покажа дека периметарот на испишаниот полигон се спојува со обемот двапати побрзо отколку периметарот на соодветниот заоблен полигон. Ова беше докажано од Кристијан Хајгенс во 1654 година. Снелиус успеа да добие седум цифри на π од полигон од 96 страни. [26]

Во 1789 година, словенечкиот математичар Јуриј Вега ги пресмета првите 140 децимални места за π, од кои првите 126 беа точни [27] и го држеше светскиот рекорд 52 години до 1841 година, кога Вилијам Ратерфорд пресмета 208 децимални места, од кои првиот 152 беа точни. Вега ја подобри формулата на Johnон Мачин од 1706 година и неговиот метод се споменува и денес. [ потребен цитат ]

Големината на таквата прецизност (152 децимални места) може да се стави во контекст со фактот дека обемот на најголемиот познат објект, наб universeудувачкиот универзум, може да се пресмета од неговиот дијаметар (93 милијарди светлосни години) до прецизност помала од една Планкова должина (на 1,6162 × 10 −35 метри, најкратката единица должина што има вистинско значење) користејќи π изразена на само 62 децимални места. [28]

Англискиот аматерски математичар Вилијам Шенкс, човек со независни средства, помина преку 15 години пресметувајќи π до 607 децимални места. Ова беше постигнато во 1873 година, со први 527 места точни. [29] Тој пресметуваше нови цифри цело утро, а потоа цело попладне го минуваше проверувајќи ја својата утринска работа. Ова беше најдолгата експанзија на π до појавата на електронскиот дигитален компјутер три четвртини од еден век подоцна. [ потребен цитат ]

Во 1910 година, индискиот математичар Сриниваса Раманујан пронајде неколку бесконечни серии на π што брзо се спојуваат, вклучувајќи

што пресметува уште осум децимални места на π со секој член во серијата. Неговите серии сега се основа за најбрзите алгоритми што се користат за пресметување π. Погледнете ја и серијата Раманујан -Сато.

Од средината на 20 век па наваму, сите пресметки на π се направени со помош на калкулатори или компјутери.

Во 1944 година, Ф. Фергусон, со помош на механички калкулатор за биро, открил дека Вилијам Шенкс направил грешка во 528 -то децимално место и дека сите наредни цифри се неточни.

Во раните години на работата на компјутерот, проширувањето π до 100 000 децимални места [30]: 78 е пресметано од математичарот Даниел Шенкс од Мериленд (без врска со гореспоменатиот Вилијам Шенкс) и неговиот тим во американската поморска лабораторија за истражување во Вашингтон Во 1961 година, Шенкс и неговиот тим користеа две различни серии на моќност за пресметување на цифрите на π. За едната, се знаеше дека секоја грешка ќе произведе вредност малку висока, а за другата, се знаеше дека секоја грешка ќе произведе малку ниска вредност. И оттука, се додека двете серии произведуваа исти цифри, имаше многу голема доверба дека се точни. Првите 100.265 цифри на π беа објавени во 1962. [30]: 80-99 Авторите наведоа што е потребно за да се пресмета π до 1 милион децимални места и заклучија дека задачата е надвор од технологијата на тој ден, но ќе биде можна во пет до седум години. [30]: 78

Во 1989 година, браќата Чудновски пресметаа π на над 1 милијарда децимални места на суперкомпјутерот IBM 3090 користејќи ја следната варијација на бесконечната серија π на Раманујан:

Оттогаш, сите записи се постигнати со помош на алгоритмот Чудновски. Во 1999 година, Јасумаса Канада и неговиот тим на Универзитетот во Токио пресметаа π на над 200 милијарди децимални места на суперкомпјутерот HITACHI SR8000/MPP (128 јазли) користејќи друга варијација на бесконечната серија π на Раманујан. Во ноември 2002 година, Јасумаса Канада и тим од 9 други го искористија Hitachi SR8000, суперкомпјутер со 64 јазли со 1 терабајт главна меморија, за да пресметаат π до приближно 1,24 трилиони цифри за околу 600 часа (25 дена). Во октомври 2005 година, тие тврдеа дека го пресметале на 1,24 трилиони места. [31]

Во август 2009 година, јапонски суперкомпјутер наречен T2K Open Supercomputer повеќе од двојно го зголеми дотогашниот рекорд со пресметување π на околу 2,6 трилиони цифри за приближно 73 часа и 36 минути.

Во декември 2009 година, Фабрис Белард користеше домашен компјутер за да пресмета 2,7 трилиони децимални цифри на π. Пресметките беа извршени во база 2 (бинарна), потоа резултатот беше претворен во база 10 (децимална). Чекорите за пресметка, конверзија и верификација траеа вкупно 131 ден. [32]

Во август 2010 година, Шигеру Кондо го искористи y-cruncher на Александар Ји за да пресмета 5 трилиони цифри на π. Ова беше светски рекорд за секаков вид пресметка, но значително беше изведен на домашен компјутер изграден од Кондо. [33] Пресметката е направена помеѓу 4 мај и 3 август, при што примарната и секундарната верификација траеле 64 и 66 часа, соодветно. [34]

Во октомври 2011 година, Шигеру Кондо го собори сопствениот рекорд со пресметување десет трилиони (10 13) и педесет цифри користејќи го истиот метод, но со подобар хардвер. [35] [36]

Во декември 2013 година, Кондо го собори сопствениот рекорд по втор пат кога пресмета 12,1 трилиони цифри на π. [37]

Во октомври 2014 година, Сандон Ван Нес, користејќи го псевдонимот „хокуончи“, користеше y-cruncher за да пресмета 13,3 трилиони цифри на π. [38]

Во ноември 2016 година, Питер Труеб и неговите спонзори пресметаа на y-cruncher и целосно потврдија 22,4 трилиони цифри на π (22,459,157,718,361 (π e × 10 12)). [39] Пресметката траеше (со три прекини) 105 дена за да заврши, [38] ограничувањето на понатамошното проширување е примарно простор за складирање. [37]

Во март 2019 година, Ема Харука Ивао, вработена во Гугл, пресмета 31,4 трилиони цифри пи користејќи машини y-cruncher и Google Cloud. Потребни беа 121 дена за да се заврши. [40]

Во јануари 2020 година, Тимоти Муликан објави пресметка на 50 трилиони цифри за 303 дена. [41] [42]

Некои од значајноста се правните или историските текстови, наводно, „дефинирајќи π“ да имаат рационална вредност, како што е „Била за Индијана Пи“ од 1897 година, во која се наведува „односот на дијаметарот и обемот е пет четвртини до четири“ (што би значело " π = 3,2 ") и пасус во хебрејската Библија што го подразбира тоа π = 3 .

Сметка за Индијана Уреди

Таканаречениот „Билан за Индијана Пи“ од 1897 година честопати се карактеризира како обид да се „закони за вредноста на Пи“. Наместо тоа, нацрт -законот се занимаваше со наводно решение за проблемот со геометриски „квадрирање на кругот“. [46]

Импутирана библиска вредност Уреди

Понекогаш се тврди дека Хебрејската Библија подразбира дека „π е три“, заснован на пасус во 1. Цареви 7:23 и 2 Летописи 4: 2, кои даваат мерења за кружниот слив, сместен пред Храмот во Ерусалим, со дијаметар од 10 лакти и обем од 30 лакти.

Прашањето се дискутира во Талмуд и во рабинската литература. [47] Меѓу многуте објаснувања и коментари се овие:

    го објасни ова во неговата Мишнат ха-Мидот (најраниот познат хебрејски текст за геометрија, околу 150 н.е.) со тоа што се вели дека дијаметарот се мери од надвор раб додека обемот се мери по должината на внатрешна Рим. Ова толкување подразбира раб од околу 0,225 лакти (или, под претпоставка дека 18-инчен „лакот“, околу 4 инчи), или една и трета „рачна ширина“, дебела (спореди НКЈВ и НКЈВ). наведува (околу 1168 н.е.) дека π може да се знае само приближно, така што вредноста 3 е дадена како доволно точна за верски цели. Ова [48] го земаат како најрано тврдење дека π е ирационално.
  • Уште едно рабинско објаснување [од кого?] [потребна година] се повикува на гематрија: Во НКЈВ зборот преведен како „мерна линија“ се појавува во хебрејскиот текст напишан КАВЕХ קַוה, но на друго место зборот најчесто се пишува КАВ. Односот на нумеричките вредности на овие хебрејски правописи е
  • 111 ⁄ 106. Ако претпоставената вредност од 3 се помножи со овој сооднос, се добива
  • 333 ⁄ 106 = 3.141509433. - давање 4 точни децимални цифри, што е во рамките
  • 1 ⁄ 10.000 од вистинската вредност на π.

С still уште има дебата за овој пасус во библиската наука. [ неуспешна верификација ] [49] [50] Многу реконструкции на сливот покажуваат поширок обод (или разгорена усна) што се протега нанадвор од садот за неколку сантиметри за да одговара на описот даден во НКЈВ [51] Во следните стихови, бандажот е опишан како „дебела рачна ширина и нејзиниот раб беше искован како раб на чаша, како цвет од крин: прими и држеше три илјади бањи“ NKJV, што сугерира облик што може да се опфати со жица пократка од вкупната должина на работ, на пример, цвет Лилиум или чаша чаша.

Приближување на многуаголник до круг Уреди

Архимед, во неговиот Мерење на круг, го создаде првиот алгоритам за пресметка на π врз основа на идејата дека периметарот на кој било (конвексен) полигон впишан во круг е помал од обемот на кругот, што, пак, е помал од периметарот на секој ограничен полигон На Започна со впишани и ограничени правилни шестоаголници, чии периметри лесно се одредуваат. Потоа, тој покажува како да се пресметаат периметрите на правилни многуаголници со двојно повеќе страни кои се испишани и ограничени околу истиот круг. Ова е рекурзивна постапка која денес би се опишала на следниов начин: Нека стрк и Пк означуваат периметри на правилни многуаголници на к страни кои се испишани и обезглавени за истиот круг, соодветно. Потоа,

Архимед го користи ова за последователно пресметување П12, стр12, П24, стр24, П48, стр48, П96 и стр96 На [52] Користејќи ги овие последни вредности, тој ги добива

Не е познато зошто Архимед застанал на полигон од 96 страни, потребно е само трпение за да се продолжат пресметките. Херон известува во неговиот Метрика (околу 60 н.е.) дека Архимед го продолжил пресметувањето во сега изгубена книга, но потоа му припишува неточна вредност. [53]

Архимед не користи тригонометрија во оваа пресметка и тешкотијата во примената на методот лежи во добивање добри приближности за квадратните корени што се вклучени. Тригонометријата, во форма на табела со должини на акорди во круг, најверојатно била користена од Клавдиј Птоломеј од Александрија за да ја добие вредноста на π дадена во Алмагест (околу 150 н.е.). [54]

Напредокот во приближувањето на π (кога се познати методите) беше направен со зголемување на бројот на страни на полигоните што се користат при пресметувањето. Тригонометриското подобрување на Виллборд Снел (1621) добива подобри граници од пар граници добиени од методот на многуаголник. Така, попрецизни резултати се добиени од полигони со помалку страни. [55] Формулата на Виште, објавена од Франсоа Виште во 1593 година, била изведена од Виште користејќи тесно поврзана полигонална метода, но со површини, а не со периметар на многуаголници чиј број страни се сили на две. [56]

Последниот голем обид да се пресмета π со овој метод беше извршен од Гринбергер во 1630 година, кој пресмета 39 децимални места на π користејќи ја рафинираноста на Снел. [55]

Формула слична на машина Уреди

За брзи пресметки, можете да користите формули како што се Machin's:

заедно со серијата Тејлор проширување на функцијата арктан (x). Оваа формула најлесно се проверува користејќи поларни координати на комплексни броеви, произведувајќи:

( = <239, 13 2> е решение за равенката на Пел x 2 −2 y 2 = −1.)

Формулите од овој вид се познати како Формули слични на машиниНа Особената формула на Махин се користеше добро во ерата на компјутерите за пресметување рекорден број на цифри на π, [30], но од неодамна се користеа и други слични формули.

На пример, Шенкс и неговиот тим ја користеа следнава формула слична на Машин во 1961 година за да ги пресметаат првите 100.000 цифри на π: [30]

и тие користеа друга формула слична на Машин,

Рекордот заклучно со декември 2002 година од страна на Јасумаса Канада од Универзитетот во Токио изнесуваше 1.241.100.000.000 цифри. Следниве формули слични на Машин беа користени за ова:

Други класични формули Уреди

Други формули што се користат за пресметување проценки на π вклучуваат:

Трансформација на конвергенција на Newутн / Ојлер: [57]

каде (2к + 1) !! го означува производот на непарните цели броеви до 2к + 1.

Работата на Раманујан е основа за алгоритмот Чудновски, најбрзите алгоритми што се користеа, од почетокот на милениумот, за пресметување π.

Современи алгоритми Уреди

Исклучително долгите децимални проширувања на π обично се пресметуваат со итеративни формули како Гаус -Легендер алгоритмот и Борвејновиот алгоритам. Вториот, пронајден во 1985 година од onatонатан и Питер Борвејн, се спојува исклучително брзо:

yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk)), ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4 - 2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) < displaystyle y_= (1-f (y_))/(1+f (y_))

каде f (y) = (1-y 4) 1 /4 < displaystyle f (y) = (1-y^<4>)^<1/4 >>, низата 1 / ak < displaystyle 1 / a_> квартално се спојува со π, давајќи околу 100 цифри во три чекори и над трилион цифри по 20 чекори. Сепак, познато е дека користењето на алгоритам како што е алгоритмот Чудновски (кој се конвергира линеарно) е побрз од овие итеративни формули.

Овие приближности имаат толку многу цифри што повеќе не се од практична употреба, освен за тестирање на нови суперкомпјутери. [58] Својства како потенцијалната нормалност на π секогаш ќе зависат од бесконечната низа цифри на крајот, а не од какво било конечно пресметување.

Разни приближувања Уреди

Историски гледано, основата 60 се користела за пресметки. Во оваа основа, π може да се приближи до осум (децимални) значајни бројки со бројот 38,29,4460, што е

(Следната полова цифра е 0, предизвикувајќи отсекувањето тука да даде релативно добра апроксимација.)

Покрај тоа, следниве изрази може да се користат за да се процени π:

  • точно до три цифри:
  • точно до три цифри:
  • точно до четири цифри:
  • точно до четири цифри (или пет значајни бројки):
  • приближување од Раманујан, точно до 4 цифри (или пет значајни бројки):
  • точно до пет цифри:
  • точно до шест цифри [2]:
  • точно до седум цифри:
  • точно до девет цифри:
  • точно до десет цифри:
  • точно до десет цифри (или единаесет значајни бројки):
  • точно до 18 цифри:
  • точно до 30 децимални места:
  • точно до 52 децимални места:
  • точно до 161 децимални места:
  • Продолжената застапеност на π на π може да се искористи за да генерира последователни најдобри рационални приближувања. Овие приближувања се најдобри можни рационални приближувања на π во однос на големината на нивните именители. Еве список на првите тринаесет од овие: [64] [65]

Сумирање област на круг Уреди

Пи може да се добие од круг ако неговиот радиус и површина се познати со помош на врската:

Ако круг со радиус р е нацртан со својот центар на точката (0, 0), секоја точка чие растојание од потеклото е помало од р ќе падне внатре во кругот. Питагоровата теорема дава растојание од која било точка ( x , y ) до центарот:

Математичката „графичка хартија“ се формира со замислување квадрат 1 × 1 центриран околу секоја ќелија ( x , y ), каде x и y се цели броеви помеѓу - r и r. Плоштадите чиј центар се наоѓа внатре или точно на границата на кругот, потоа може да се избројат со тестирање дали, за секоја ќелија ( x , y ),

Вкупниот број на клетки што ја задоволуваат таа состојба ја приближува површината на кругот, што потоа може да се искористи за да се пресмета приближување на π. Може да се направат поблиски приближувања со користење на поголеми вредности на r.

Математички, оваа формула може да се запише:

Со други зборови, започнете со избирање вредност за r. Размислете за сите клетки ( x , y ) во која и двете x и y се цели броеви помеѓу - r и r. Почнувајќи од 0, додадете 1 за секоја ќелија чие растојание до потеклото (0,0) е помало или еднакво на р На Кога ќе завршите, поделете ја сумата, претставувајќи ја површината на кругот со радиус r, со r 2 за да најдете приближување на π. На пример, ако r е 5, тогаш разгледаните ќелии се:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

р област приближување на π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

Слично на тоа, посложените апроксимации на π дадени подолу вклучуваат повторени пресметки од некој вид, што дава поблиски и поблиски приближувања со зголемен број пресметки.

Продолжени дропки Уреди

Покрај неговата едноставна продолжена застапеност на дропки [3 7, 15, 1, 292, 1, 1,. ], што не прикажува видлива шема, π има многу генерализирани претстави за продолжените фракции генерирани со едноставно правило, вклучувајќи ги и овие две.

(Други претстави се достапни на страницата за функции на Волфрам.)

Тригонометрија Уреди

Серија Грегори -Лајбниц Уреди

е моќната серија за арктан (x) специјализирана за x = 1. Се спојува премногу бавно за да биде од практичен интерес. Сепак, серијата моќност се спојува многу побрзо за помали вредности на x < displaystyle x>, што доведува до формули каде π < displaystyle pi> произлегува како збир од мали агли со рационални тангенти, познати како формули слични на Машин.

Arctangent Edit

Знаејќи дека 4 арктан 1 = π, формулата може да се поедностави за да се добие:

со конвергенција таква што секој дополнителен 10 член дава најмалку уште три цифри.

Алтернативно, може да се користи следната едноставна серија за проширување на функцијата arctangent

Arcsine Edit

Набудување рамностран триаголник и забележување на тоа

со конвергенција таква што секој дополнителен пет член дава најмалку уште три цифри.

Алгоритам Саламин -Брент Уреди

Формулата Бејли -Борвејн -Плуф (BBP) за пресметување π беше откриена во 1995 година од Симон Плауф. Користејќи математика база 16, формулата може да пресмета која било одредена цифра на π - враќајќи ја хексадецималната вредност на цифрата - без да мора да ги пресметате цифрите што интервенираат (извлекување цифри). [68]

Во 1996 година, Симон Плауф изведе алгоритам за извлекување на n -та децимална цифра од π (користејќи математика од база 10 за извлекување на база од 10 цифри), и што може да го стори тоа со подобрена брзина од О(н 3 (дневник н) 3) време. Алгоритмот практично не бара меморија за складирање на низа или матрица, така што милионската цифра на π може да се пресмета со помош на џебен калкулатор. [69] Меѓутоа, би било доста мачно и непрактично да се направи тоа.

Брзината на пресметување на формулата на Плуф беше подобрена на О(н 2) од Фабрис Белард, кој извлече алтернативна формула (иако само во математиката 2) за пресметување π. [70]

Многу други изрази за π беа развиени и објавени од индискиот математичар Сриниваса Раманујан. Работел со математичарот Годфри Харолд Харди во Англија неколку години.

Исклучително долгите децимални проширувања на π обично се пресметуваат со алгоритмот Гаус -Легендре и алгоритмот на Борвејн, исто така, се користи алгоритамот Саламин -Брент, измислен во 1976 година.

Во 1997 година, Дејвид Х. Бејли, Питер Борвејн и Симон Плуф објавија труд (Бејли, 1997) за нова формула за π како бесконечна серија:

Оваа формула му овозможува на еден прилично лесно да го пресмета кбинарна или хексадецимална цифра на π, без да мора да се пресмета претходната к - 1 цифра. Веб -страницата на Бејли [71] содржи изведување, како и имплементации на различни програмски јазици. Проектот PiHex пресмета 64 бита околу квадрилионитиот бит на π (што излегува дека е 0).

Други формули што се користат за пресметување проценки на π вклучуваат:

Ова се конвергира извонредно брзо. Работата на Раманујан е основа за најбрзите користени алгоритми, од почетокот на милениумот, за пресметување π.

Во 1988 година, Дејвид Чудновски и Григориј Чудновски пронајдоа уште побрзо приближувачка серија (алгоритам Чудновски):

Брзината на различните алгоритми за пресметување на пи до n точни цифри е прикажана подолу по опаѓачки редослед на асимптоматска сложеност. M (n) е сложеноста на користениот алгоритам за множење.

Алгоритам Година Временска сложеност или брзина
Алгоритам Чудновски 1988 O (n log ⁡ (n) 3) < displaystyle O (n log (n)^<3>)> [38]
Алгоритам Гаус -Легендре 1975 O (M (n) дневник ⁡ (n)) < displaystyle O (M (n) log (n))> [73]
Бинарно разделување на серијата арктан во формулата на Мачин O (M (n) (log ⁡ n) 2) < displaystyle O (M (n) ( log n)^<2>)> [73]
Лајбницова формула за π 1300 -ти Сублинеарна конвергенција. Пет милијарди термини за 10 точни децимални места

Пи Хекс уредување

Пи Хекс беше проект за пресметување три специфични бинарни цифри на π со помош на дистрибуирана мрежа од неколку стотици компјутери. Во 2000 година, по две години, проектот заврши со пресметување на пет трилионити (5*10 12), четириесет трилионити и квадрилионити (10 15) битови. Сите тројца испаднаа 0.

Со текот на годините, напишани се неколку програми за пресметување π до многу цифри на персонални компјутери.

Општа намена Уреди

Повеќето компјутерски алгебарски системи можат да пресметаат π и други вообичаени математички константи со која било сакана прецизност.

Функциите за пресметување π се исто така вклучени во многу општи библиотеки за аритметика со произволна прецизност, на пример, Класна библиотека за броеви, MPFR и SymPy.

Специјална намена Уреди

Програмите дизајнирани за пресметување π може да имаат подобри перформанси од математичкиот софтвер за општа намена. Тие обично спроведуваат контролен пункт и ефикасно заменување диск за да се олеснат екстремно долгите и скапи мемории пресметки.


Колку цифри од Пи треба да имате запаметено за да бидете специјални

Денес е Денот на Пи & mdash денот секоја година, 14 март, што ги следи првите три цифри на пи (3.14). И оваа година & rsquos Pi Day е посебна: Бидејќи & mdash во САД & mdash датумот е претставен како 14.03.15, ги имаме првите пет цифри на пи на календарот.

Тоа е rsquos вест за некои луѓе. Кога станува збор за тоа колку цифри на пи луѓе знаат напамет, мнозинството знае само 3.14. Што е добро! Освен ако не & градите да изградите мост, тоа ќе го направите најмногу што навистина ќе треба да знаете.

Го замолив SurveyMonkey Audience да направи анкета за да види колку далеку луѓето можат да стигнат до рецитирање на бесконечните цифри на пи. Од 941 испитаници, 836 се обиделе да ги именуваат цифрите по децимална точка. Еве до каде стигнаа:

НИВО НА ПРЕЦИЗНОСТ ПРОЦЕНТ НА ​​ИСПИТУВАНИТЕ
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Ако успеете да стигнете до првите 3 после децималната точка, вие ќе се вброите во првите 5 проценти од пи меморизаторите. Ги замолив луѓето што стигнаа толку далеку да продолжат, а повеќето од нив се појавија набргу потоа.

Најголемиот пад дојде после & ldquo3.14, & rdquo бидејќи испитаниците кои стигнале толку далеку стигнале до & ldquo3.141 & rdquo само околу 52 проценти од времето.

Вработените во НАСА веројатно можат да се извлечат знаејќи ги само првите шест цифри по децималната точка. Исто така, имаме калкулатори за кога ни требаат уште неколку цифри, ТИ-89 за кога тие калкулатори се недоволни и Волфрам Алфа за кога ги пресметуваме овие калкулатори на пушач, стопен хаос.

Можеби по многу очекуваната апокалипса, момците од Големиот хадронски судирач ќе бидат среќни да го имаат тој фраер кој меморираше десетици илјади пи цифри наоколу, но засега, тој & rsquos само што доби чудно хоби. Познавањето на пи е строго перформативен чин, како и луѓето кои спремно го волонтираат својот SAT резултат или процентот на завршено средно училиште.


Колку цифри на Пи знаеја старите Египќани? - Историја

Пи е име дадено на односот на обемот на кругот со дијаметарот. Тоа значи, за секој круг, можете да го поделите обемот (растојанието околу кругот) со дијаметар и секогаш да го добиете истиот број. Не е важно колку е крупен или мал кругот, Пи останува ист. Пи често се пишува со помош на симболот и се изговара со „цитат“, исто како и десертот.

Кратка историја на Пи
Античките цивилизации знаеле дека постои фиксен сооднос на обемот на дијаметарот што е приближно еднаков на три. Грците го рафинираа процесот и на Архимед му се припишува првата теоретска пресметка на Пи.

Во 1761 година Ламберт докажа дека Пи е ирационален, односно дека не може да се запише како сооднос на цели броеви.

Во 1882 година, Линдеман докажа дека Пи е трансцендентален, односно дека Пи не е коренот на која било алгебарска равенка со рационални коефициенти. Ова откритие докажа дека не можете да & quotsquare круг & quot, што беше проблем што окупираше многу математичари до тоа време. (Повеќе информации за квадрирање на кругот.)

Колку цифри има? Дали некогаш завршува?
Бидејќи е познато дека Пи е ирационален број, тоа значи дека цифрите никогаш не завршуваат или повторуваат на кој било познат начин.Но, пресметувањето на цифрите на Пи се покажа како фасцинација за математичарите низ историјата. Некои го поминаа животот пресметувајќи ги цифрите на Пи, но до компјутерите, беа пресметани помалку од 1.000 цифри. Во 1949 година, компјутерот пресмета 2.000 цифри и трката беше во тек. Милиони цифри се пресметани, а рекордот го држеше (заклучно со септември 1999 година) суперкомпјутер на Универзитетот во Токио кој пресмета 206.158.430.000 цифри. (првите 1.000 цифри)

Повеќе за Историјата на Пи може да се најдат во архивите на Mac Tutor Math History.

Приближување на Пи
Архимед пресметал дека Пи бил помеѓу 3 10/71 и 3 1/7 (исто така напишано 223/71

Веб -страници Пи
Пи продолжува да биде фасцинација на многу луѓе низ целиот свет. Ако сте заинтересирани да научите повеќе, има многу веб -страници посветени на бројот Пи. Постојат сајтови кои нудат илјадници, милиони или милијарди цифри, пи клубови, пи музика, луѓе што пресметуваат цифри, луѓе кои меморираат цифри, експерименти со Пи и многу повеќе. Проверете ја оваа страница на Јаху за целосна листа.

Кул Пи експеримент
Еден од најинтересните начини да дознаете повеќе за Пи е сами да правите пи експерименти. Еве еден познат наречен Игла на Буфон.

Во експериментот со иглата на Буфон, можете да испуштите игла на обложена лист хартија. Ако следите колку пати иглата слета на линија, излегува дека е директно поврзана со вредноста на Пи.

Аплет за симулација на игли на Буфон (Мајкл Ј. Хурбен)
Игла на Буфон (Georgeорџ Рис, Канцеларија за математика, наука и технологија Образование на Универзитетот во Илиноис Кампања-Урбана)

Први 100 децимални места

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

Први 1000 децимални места
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Пи, некој? Тајната за меморирање на десетици илјади цифри

Секоја година, ентузијастите по математика го слават Денот на Пи на 14 март, бидејќи датумот ги означува првите три цифри (3.14) на пи, или π, математичката константа што го претставува односот на обемот на кругот со неговиот дијаметар. Оваа година, настанот е уште поспецијален бидејќи, за прв пат во еден век, датумот ќе ги претставува првите пет цифри на пи: 3.14.15.

Пи е ирационален број, што значи дека не може да се изрази како дропка, а неговата децимална претстава никогаш не завршува и никогаш не се повторува.

Постојат многу начини да се прослави Денот на Пи, вклучително и конзумирање на големи количини од неговиот вкусен хомофон, пита. Но, мал број луѓе го восхитуваат понатаму, рецитирајќи десетици илјади цифри пи од меморијата. [9 -те најмасивни броеви во постоење]

Во 1981 година, Индиец по име Раџан Махадеван прецизно изрецитирал 31.811 цифри пи од меморијата. Во 1989 година, јапонскиот Хидеаки Томојори рецитираше 40.000 цифри. Тековниот Гинисов рекорд го држи Лу Чао од Кина, кој во 2005 година рецитираше 67.890 цифри пи.

И покрај импресивните достигнувања, повеќето од овие луѓе не се родени со извонредни спомени, сугерираат студиите. Тие едноставно научија техники за поврзување на жици со цифри со замислени места или сцени во нивниот ум.

За многумина од овие шампиони во меморијата, способноста „да запомнат огромен број случајни цифри, како што е пи, е нешто што тие самите го обучуваат да го прават во текот на долг временски период“, рече Ерик Леге, когнитивен психолог на Универзитетот во Алберта во Едмонтон, Канада.

Влезете во палатата на умот

Експертските научници за меморирање често користат стратегија позната како метод на локуси, исто така наречена „палата на меморијата“ или техника „палата на умот“ (како онаа што ја користи ликот на Бенедикт Камбербач во ТВ серијата Би -Би -Си „Шерлок“). Применлив уште од времето на античките Грци и Римјани, методот вклучува употреба на просторна визуелизација за да се запамети информации, како што се цифри, лица или списоци на зборови.

„Тоа е една од поефикасните, но сепак посложени, мемориски стратегии за сеќавање на големи групи информации“, рече Леге за „Live Science“.

Еве како функционира: Се ставате во позната средина, како што е куќата, и шетате низ таа средина поставувајќи парчиња информации што сакате да ги паметите на различни места. На пример, може да го ставите бројот „717“ во аголот до влезната врата, бројот „919“ во мијалникот во кујната и така натаму, рече Леге.

„За да се потсетите [на цифрите] по ред, с you што треба да направите е да одите по истиот пат како и кога ги чувате тие информации“, рече Леге. „Со тоа, луѓето можат да запомнат огромни групи информации“.

Негувајте, не природата

Андерс Ериксон, професор по психологија на државниот универзитет во Флорида во Талахаси, го проучувал Лу и другите кои поставиле рекорди за рецитирање цифри од пи, за да открие како ги постигнале овие неверојатни подвизи на меморирање.

Како и повеќето други пи -рецитатори, Лу користеше техники за визуелизација за да му помогне да запомни. Тој додели слики како стол, крал или коњ на двоцифрени комбинации на броеви кои се движат од „00“ до „99“. Потоа измисли приказна користејќи ги овие слики, која беше поврзана со физичка локација, рече Ериксон.

Пред неколку години, Ериксон и неговите колеги му дадоа на Лу, како и група луѓе на иста возраст и ниво на образование, тест што го мери нивниот „цифрен распон“ и mdash со други зборови, колку добро можат да запомнат низа случајни цифри претставени со брзина од една цифра во секунда.

Цифрениот распон на Лу беше 8,83, во споредба со просекот од 9,27 за остатокот од групата, според студијата, објавена во 2009 година во весник на експериментална психологија. Резултатите сугерираат дека, за разлика од некои други експерти за меморија кои биле изучувани, вештината на Лу во меморирање долги списоци со цифри не била резултат на вродена вештина во кодирање информации. Наместо тоа, тоа беше резултат на долгогодишна практика, рече Ериксон.

Значи, дали ова значи дека секој може да научи да запомни десетици илјади цифри на пи?

„Имаше многу демонстрации што покажуваа дека редовните луѓе, под обука, можат драматично да ги подобрат своите перформанси“ при меморирање долги списоци, рече Ериксон. „Но, морам да бидам искрен“, рече тој. „Кога се обврзувате да запаметите пи ... зборуваме години пред да успеете да постигнете рекордни перформанси“.


Броен систем и аритметички операции

Египќаните, како и Римјаните по нив, изразуваа броеви според децимална шема, користејќи одделни симболи за 1, 10, 100, 1.000, и така натаму секој симбол се појавуваше во изразот онолку пати колку што се случи вредноста што ја претставува во самиот број. На пример, стоеше за 24. Оваа прилично тешка нотација се користеше во рамките на хиероглифското писмо пронајдено во камени натписи и други формални текстови, но во папирусните документи писарите користеа попогодно скратено писмо, наречено хиератично пишување, каде што, на пример, беше напишано 24 / >>

Во таков систем, собирањето и одземањето се смета за броење колку симболи од секој вид има во нумеричките изрази и потоа препишување со добиениот број на симболи. Текстовите што преживеале не откриваат какви, доколку ги има, специјалните процедури што ги користеле писарите во ова. Но, за множење тие воведоа метод на последователно удвојување. На пример, за да се помножи 28 со 11, се конструира табела од множители од 28 како следната:

Неколкуте записи во првата колона што заедно сумираат до 11 (т.е. 8, 2 и 1) се проверуваат. Производот потоа се наоѓа со собирање на множите што одговараат на овие записи, на тој начин, 224 + 56 + 28 = 308, саканиот производ.

За да се подели 308 со 28, Египќаните ја применија истата постапка обратно. Користејќи ја истата табела како и во проблемот со множење, може да се види дека 8 го произведува најголемиот множител од 28 што е помал од 308 (за внесување на 16 е веќе 448), а 8 се исклучува. Процесот потоа се повторува, овој пат за остатокот (84) добиен со одземање на записот 8 (224) од оригиналниот број (308). Ова, сепак, е веќе помало од записот на 4, што последователно се игнорира, но е поголемо од записот на 2 (56), кое потоа се проверува. Процесот се повторува повторно за остатокот добиен со одземање 56 од претходниот остаток од 84, или 28, што исто така точно се изедначува со влезот на 1 и кој потоа се проверува. Записите што се проверени се собираат, со што се добива количник: 8 + 2 + 1 = 11. (Во повеќето случаи, се разбира, има остаток што е помал од делителот.)

За поголеми броеви, оваа постапка може да се подобри со разгледување на множители на еден од факторите за 10, 20,… да вежбам). Така, може да се најде производот од 28 на 27 со поставување на множители на 28 со 1, 2, 4, 8, 10 и 20. Бидејќи записите 1, 2, 4 и 20 се собираат до 27, еден има само да се соберат соодветните множители за да се најде одговорот.

Пресметките што вклучуваат дропки се вршат под ограничување на единичните делови (односно, дропки што во модерната нотација се запишуваат со 1 како броител). На пример, за да се изрази резултатот од делење на 4 со 7, што во модерната нотација е едноставно 4/7, писарот напиша 1/2 + 1/14. Постапката за наоѓање количници во оваа форма само го проширува вообичаениот метод за поделба на цели броеви, каде што сега се проверуваат записите за 2/3, 1/3, 1/6, итн., И 1/2, 1/4, 1/8, итн., Додека соодветните множители на сумата од делителот не се поделат на дивидендата. (Писарите вклучуваат 2/3, може да се забележи, иако тоа не е единечна дропка.) Во пракса, постапката понекогаш може да стане доста комплицирана (на пример, вредноста за 2/29 е дадена во папирусот Рајнд како 1/ 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) и може да се разработи на различни начини (на пример, истите 2/29 може да се најдат како 1/15 + 1/435 или како 1/16 + 1/ 232 + 1/464, итн.). Значителен дел од папирусните текстови се посветени на табели за да се олесни пронаоѓањето на таквите вредности на единица-фракција.

Овие основни операции се с that што е потребно за решавање на аритметичките проблеми во папирусите. На пример, „за да се поделат 6 леба меѓу 10 мажи“ (Rhind papyrus, проблем 3), само се дели за да се добие одговорот 1/2 + 1/10. Во една група проблеми се користи интересен трик: „Количина (ажа) и неговата 7 -ма заедно прават 19 - што е тоа? " (Папирус Рајнд, проблем 24). Тука прво се претпоставува дека количината е 7: од 1 1 /7 од него станува 8, а не 19, еден зема 19/8 (односно 2 + 1/4 + 1/8), а неговиот множител со 7 (16 + 1/2 + 1/8) станува потребниот одговор. Овој вид процедура (понекогаш наречена метод на „лажна позиција“ или „лажна претпоставка“) е позната во многу други аритметички традиции (на пример, кинеската, хиндуистичката, муслиманската и ренесансната европска), иако изгледа дека немаат директна врска на Египќанецот.


10.000 цифри на Пи форматирани за луѓе

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567


Радоста на аритметиката на Сексагезималната пловечка точка

Минатиот месец, пишував за возбудата околу новиот труд за многу проучената таблета Plimpton 322. Оваа древна месопотамска таблета, која беше тема на многу академски трудови во текот на последните неколку децении, има колони од броеви поврзани со правоаголни триаголници, но не знаеме точно како и зошто е создадена табелата.

Во мојот пост, го критикував публицитетното видео што истражувачите го направија за да го придружат објавувањето на трудот. Поточно, бев иритиран од чудните забелешки што ги направи еден од истражувачите за релативната корист на основата 60 или сексажимална, наспроти основната 10 или децималната, што ја користиме денес.

Да биде појасно, основата 60 има голема предност во однос на основата 10: 60 се дели со 3, а 10 не е & rsquot. Лесно е да се запишат дропките 1/2, 1/4 и 1/5 во основата 10: тие & rsquore 0,5, 0,25, и 0,2, соодветно. Но, 1/3 е 0,3333 & hellip. Нејзината децимална застапеност не завршува. Тоа навистина не е премногу проблем за нас затоа што ни е пријатно да ги претставуваме броевите како децимали или дропки. Но, вавилонскиот броен систем не претставуваше дропки во однос на броители и именители како што го правиме ние. Ја користеа само сексажималната форма, што би било како нас само да користиме децимали наместо да пишуваме броеви како дропки. Во sexagesimal, 1/3 има лесна претстава како. Тоа & rsquos 20/60, што може да се запише како .20 во сексажимален систем. (Не беше напишано токму така од древните Месопотамци, бидејќи тие немаа еквивалент на децимална точка. Ние & rsquoll се враќаме на тоа подоцна.)

Колку се поважни фактори, толку е подобро кога станува збор за лесно претставување на броевите со помош на системски позициони броеви како база 10 или 60, но тие дополнителни фактори имаат своја цена. Во основата 10, треба да научиме само 10 цифри. Основата 30, најмалата основа што може да се подели со 2, 3 и 5 (60 има дополнителен фактор 2 што не прави огромна разлика во тоа колку е лесно да се претстават броевите), бара 30 различни цифри. Ако сакаме да пишуваме дропки како 1/7 користејќи аналогна претстава, ние мора да скокнеме до основата 210. Работата со толку бројки станува тешка многу брзо.

Дропките чии именители имаат фактори 2 и 5 имаат конечни децимални претстави. Базата 12 исто така ќе биде прилично погодна. Има главни фактори 2 и 3, и е прилично лесно да се избројат до 12 на прстите користејќи ги зглобовите на едната рака наместо индивидуалните прсти. (Еден од моите студенти по историја по математика напиша пост во кој се расправаше за систем со број 12 или десетина.) Со основата 12, ние & rsquod ја губиме способноста лесно да претставуваме 1/5 или 1/10. Но, 30 или 60, најмалите основи што овозможуваат основни фактори 2, 3 и 5, се ужасно големи. Тоа & rsquos компромис. Лично, идејата да морам да ги пратам 30 или 60 различни цифри, дури и ако тие се доста разбирливи, како што беа вавилонските цифри, е премногу за мене, така што јас останувам со 10 или 12. Но, продолжи sexagesimal ако тоа е твојата работа.

Базата 60 секако ја има таа главна предност во однос на основата 10, но ме нервираше начинот на кој Менсфилд ја прецени таа предност во промотивното видео што го направија за да го придружува весникот. Еве и што напишав за тоа минатиот месец:

Можеби корисноста на различни видови табели за тригли е прашање на мислење, но видеото на UNSW, исто така, има некои директни лаги за точноста во основата 60 наспроти системот база 10 што сега го користиме. Околу ознаката 1:10, вели Менсфилд, & ldquoБројме во основата 10, која има само две точни дропки: 1/2, што е 0,5, и 1/5. & Rdquo Мојот прв приговор е дека секоја фракција е точна. Бројот 1/3 е точно 1/3. Менсфилд јасно кажува дека она што го мисли со тоа што 1/3 не е точна дропка е тоа што има бесконечна (0,333 & hellip), а не децимална завршница. Но, што е со 1/4? Тоа & rsquos 0,25, што завршува, а сепак Менсфилд не го смета за точна фракција. А што е со 1/10 или 2/5? Тие можат да бидат напишани 0,1 и 0,4, што изгледа прилично точно.

Неодбранливо, кога тој ги пофали многуте и прецизните дропки достапни во основата 60, тој не ги применува истите стандарди. Во основата 60, 1/8 ќе биде напишано 7/60+30/3600 што е иста идеја како да се напише 0,25, или 2/10+5/100, за 1/4 во основата 10. Зошто е 1/8 точно во база 60, но 1/4 не е точно во основата 10?

Нема да го повторам мојот пост овде, но сакам да појаснам една точка. Неколку луѓе кои ја критикуваа оваа критика за видеото мислат дека бројките што ги спомнав таму се само случајни броеви што лебдат во етерот во видеото. Тие & не знаат! Бидејќи Менсфилд не објасни што значат броевите, тие може да изгледаат случајно, но всушност, изразот 1/8 = 7.30 значи нешто. Ги натерав моите студенти малку да работат со аритметика на база 60 кога предавав математичка историја, па веднаш ги препознав паровите што ги прикажува како & ldquoreciprocal парови & rdquo во основата 60. Клинестото писмо еквивалент на равенката 1/8 = 7.30 би имало значење за математички образована личност во 1800 година пр.н.е.

Слика од екранот на промотивните видео истражувачи направени да го придружуваат својот труд за вавилонската таблета Plimpton 322. Кредит: UNSW

Вавилонскиот броен систем беше позиционен, или местоположен систем, како нашиот. Во нашиот децимален систем, цифрата 1 може да значи една единица ако е & rsquos сама по себе, десет ако е & rsquos во десетките место во број како 10 или 12, сто ако е & rsquos на следното место лево, и така натаму. Во системот за позициона база 60, ќе има едно место, место во шеесеттите години, триесет и шест стотини места и така натаму, наместо оние, десетици и стотици што ги користевме. Но, освен тоа, системот работи на ист начин како нашиот. Ова е спротивно на, на пример, римските броеви, каде што јас значам еден, Х значи десет, Ц значи сто, и така натаму. Значи, вавилонскиот систем ни е малку полесен за работа отколку римскиот систем.

Но, има пресврт: вавилонскиот систем не користеше нула, барем на почетокот. (Напишав за овој чудак кога започнав да предавам математичка историја во 2014 година.) Ние користиме нула како место за чување, или во средината на број, како во бројот 101, или на почетокот (0.001) или крај (1.000) до означете ја големината на бројот за кој зборуваме. Античките Месопотамци не го направија тоа, иако оставија малку простор за празни цифри во средината на бројот каде што би ја запишале нулата во 101. Тие претпоставуваа дека контекстот ќе го разјасни редоследот на големината. Во нашиот броен систем, би било како да пишуваме 1 и да претпоставиме дека ќе биде јасно дали тоа значи еден, десет, една десетина, сто или друг број што ќе го напишеме користејќи ги само цифрите еден и нула.

Тоа звучи збунувачки, и доведе до некои грешки, но правиме и глупави грешки врз основа на тоа како пишуваме броеви: цифрите 6 и 0, или 1 и 7, изгледаат слично во ракописот на некои луѓе, на пример. Ние дури понекогаш испуштаме ред од големината ако се разбере во контекст. Луѓето зборуваат за јадење нешто со 100 калории, што навистина значи 100 килокалории. Огласите за недвижности понекогаш кажуваат работи како & ldquo Домови од $ 100 и rdquo (во предградијата на Тексас кога бев дете) или & ldquoЕдиници од $ 500 и rdquo (во големите градови денес). Ако се појавите со неколку стотици долари мислејќи дека ќе се вратите како сопственик на куќа, ќе ви биде многу жал што не ги разбравте премолчените & илјадници & rdquo на крајот од тие бројки.

Денес, компјутерите генерално претставуваат и манипулираат со броеви користејќи аритметика со подвижна точка, што може да ве потсети на научна нотација. Едниот сет на цифри ги означува цифрите во бројот, а другото множество го означува неговиот редослед на големина. На тој начин е потребно во основа иста количина меморија за да се зачува бројот 12 како и бројот 12.000.000.Иако вавилонскиот систем не укажуваше на редот на големината толку јасно како модерните компјутери, сличностите се доволни за некои луѓе да го нарекуваат сексажимална подвижна точка.

Фактот дека 1 може да укаже на една, шеесет, триесет и шестотини или други сили од 60 во вавилонскиот броен систем доведе до поинаков начин на размислување за поделбата. Ако треба да се поделат со број, ќе се помножат со & ldquoreciprocal & rdquo на тој број. Два броја би биле реципрочни ако нивниот производ е цифрата 1. Но, тоа може да значи с anything што е напишано како еквивалент на цифрата 1 во основата 60: 1, 60, 3600, 1/60, и така натаму. Така, 4 и 15 формираат реципрочен пар во основата 60 затоа што 4 и времиња15 е 60. Така направете 3 и 20, 5 и 12 и многу други комбинации. (Овие парови може да се чувствуваат познато: има 15 минути за една четвртина од еден час, 20 во една третина и така натаму. Сакам да мислам на ова како вестигијален сексаксимизам.) Реципрочните табели вклучуваат и посложени реципрочни парови, исто така: 8 и 7,30 9 и 6,40 1,21 и 44,26,40. (Денес, ние обично ги ставаме запирките меѓу половите минимални цифри кога ги пишуваме со нашите хинду-арапски децимали за да избегнеме двосмисленост. 7,30 значи дека едно место има 7 во него, а едно има 30. Редоследот на големината с depends уште зависи од контекстот. )

Отпрвин, изјави како 1/4 = 15 и 1/8 = 7,30 ми беа неприродни за мене и моите ученици, но мислам дека нивното преведување назад во основата 10 може малку да помогне. Кога бев дете, открив неверојатен факт: наместо да се помножам со 5, што ми беше тешко, можев да поделам со 2, што ми беше лесно, и да се помножам со 10. Не размислував за тоа баш така. Помислив повеќе како & ldquodivide со 2, а потоа направи го бројот вистинската големина. & Rdquo Подоцна открив дека може да се сврти процесот: може да се подели со 5 со множење со 2 и правење на бројот вистинска големина (со делење со 10 , што може да изгледа како одземање на нула или поместување на децимална точка налево)! Исто така, открив дека можам да помножам со 50 со користење на истиот трик и додавање на уште 0.

Бев сосема задоволен од овие мали трикови, но никогаш не им кажав на моите учители затоа што бев сигурна дека изневерувам. Ако ме фатат, ќе треба да научам како да множам или поделам со 5. Ужасот! Сега знам зошто моите трикови функционираа и дека тие не изневеруваа. Го користев фактот дека 5 и 2 се децимални реципрочни подвижни точки. Всушност, добро е да можете да ги разделите броевите на пригодни начини за да ја олесните аритметиката. Кога првпат наидов на вавилонскиот систем база 60, го препознав трикот 5-2 како основна верзија 10 на сексажимални и ликвидополни парови. & Rdquo Додека мезопотамската математика веројатно нема да го промени начинот на кој работиме тригонометрија, играње со броеви и учење за различни начини на нивно претставување може да им помогнат на учениците (и не-студентите) да го развијат нашето чувство за број и да се забавуваат.

За повеќе за вавилонскиот броен систем:
Вовед во вавилонски броеви од веб -страницата за историја на математика MacTutor
Месопотамската страница за математика на Данкан Ј. Мелвил види особено & quotСпецијални теми, & quot, која вклучува написи за вавилонски реципрочни парови

Изразените ставови се на авторот (ите) и не се нужно оние на Scientific American.


Погребување на фараонот

Мумификацијата и погребот имаа важно место во египетскиот живот. Египќаните веруваа зачувување на телото гарантирано опстанокот на душата во задгробниот живот. Фараонот започна да го гради својот гроб веднаш по преземањето на престолот. Локациите и видовите на изградени гробници се сменија со текот на времето и кога се пресели главниот град на земјата. Гробовите содржеа украси за патувањето на фараонот во задгробниот живот и текстови од Книгата на мртвите.

& копирај Мери Харш - украсен саркофаг

Најраните фараонски гробници се гробници на мастаба изработена од тула од кал. Научниците ги пронашле овие гробници на некои од најстарите гробишта во близина на древните престолнини (видете ја листата на капитал подолу). Мастабас, како и сите древни египетски гробишта, беа на западниот брег на Нил, што беше подрачје на мртвите.

Пирамиди беа елаборати на дизајнот на мастаба направен од камен. Првиот беше на Чекор пирамида на Djосер што го дизајнираше Имхотеп. Архитектите ги планирале пирамидите и вклучиле мртовечки храм и други кралски гробници во комплексот. Големата пирамида на Куфу во Гиза е најголемиот пример за овој тип гробници.

& копирај DragonWoman - Пирамидален комплекс во Гиза

Подоцна фараоните видоа дека ограбувачи на гробови провалиле во претходните гробници, па тие се сокриле гробници исечени на карпиНа Областа каде што ги изградија овие гробници сега се нарекува Долина на кралевите. Некои гробници содржеа неколку комори и повеќе од еден владетел.

Фараоните примија елаборирани погребувања кои содржат широк спектар на стоки. Отпрвин, свештениците ги погребаа фараоните со предмети како облека, мебел, игри и накит. За време на деветнаесеттата династија, свештениците почнаа да ги погребуваат со предмети направени за задгробниот живот. Пример за ова се глинените шабти фигурини направени да му служат на фараонот. Свештениците ставале храна, масло и садови во гробовите за да го нахранат кралот во задгробниот живот.